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傅立叶分析股票波动

发布时间: 2022-07-01 06:37:30

A. 傅里叶有什么作用

通过飞秒检测发现傅立叶变换,表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅立叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

傅立叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分,比如正弦波、方波、锯齿波等,傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。

f(t)是t的周期函数,如果t满足狄里赫莱条件:在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点,附f(x)单调或可划分成有限个单调区间,则F(x)以2T为周期的傅里叶级数收敛,和函数S(x)也是以2T为周期的周期函数,且在这些间断点上,函数是有限值;在一个周期内具有有限个极值点;绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换,

②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的像函数,f(t)叫做

F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。

形式),因此具有特征的基函数就由三角函数变成复指数函数。但是,如果输入是方波、三角波或者其他什么波形,那输出就不一定是什么样子了。所以,除了指数信号和正弦信号以外的其他波形都不是线性系统的特征信号。

用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波或者其他什么函数来表示的原因在于:正弦信号恰好是很多线性时不变系统的特征向量。于是就有了傅里叶变换。对于更一般的线性时不变系统,复指数信号(表示耗散或衰减)是系统的“特征向量”。于是就有了拉普拉斯变换。z变换也是同样的道理,这时是离散系统的“特征向量”。这里没有区分特征函数和特征向量的概念,主要想表达二者的思想是相同的,只不过一个是有限维向量,一个是无限维函数。

傅里叶级数和傅里叶变换其实就是我们之前讨论的特征值与特征向量的问题。分解信号的方法是无穷的,但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。这样,用正余弦来表示原信号会更加简单,因为正余弦拥有原信号所不具有的性质:正弦曲线保真度。且只有正弦曲线才拥有这样的性质。

这也解释了为什么我们一碰到信号就想方设法的把它表示成正弦量或者复指数量的形式;为什么方波或者三角波如此“简单”,我们非要展开的如此“麻烦”;为什么对于一个没有什么规律的“非周期”信号,我们都绞尽脑汁的用正弦量展开。就因为正弦量(或复指数)是特征向量。

B. 如果只看单根K线图来判断价格趋势可行吗为什么

只看单根K线图来判断价格趋势可行,相同两根k线的形成原因会不同,也就代表含义不一样。
看股票K线是很常见的一种炒股手段。利用K线找“规律”也是炒股常用的方法,毕竟股市变化多端,以便更好的投资、获得收益。
教大家如何来看K线,教伙伴们从哪里入手去分析它。
分享之前,先免费送给大家几个炒股神器,能帮你收集分析数据、估值、了解最新资讯等等,都是我常用的实用工具,建议收藏:炒股的九大神器免费领取(附分享码)
一、 股票K线是什么意思
K线图还有许多其他的叫法,如蜡烛图、日本线、阴阳线等,最常见的叫法是--K线,它的发明是为了更好的计算米价的涨跌,再后来,股票、期货、期权等证券市场都开始使用它。
形似柱状,可拆分为影线和实体,这个我们称为k线。影线在实体上方的部分叫上影线,下方的部分叫下影线,实体分阳线和阴线。
Ps:影线代表的是当天交易的最高和最低价,实体表示的是当天的开盘价和收盘价。
其中阳线的表示方法有三种,分别是:红色、白色柱体还有黑框空心,而且阴线实体柱是用黑色、绿色或者蓝色来做代表的,

除此之外,正当我们看到“十字线”时,就可以认为是实体部分转换成一条线
其实十字线很容易理解的,代表收盘价和开盘价一样
认识了K线,我们对找出买卖点就会很在行(对股市方面虽然说是没有办法预测的,但是K线对于指导方面仍然是有作用的),对于新手来说,还是最容易操作的。
这里我要给大家提醒一下,K线解析起来是有一些复杂的,若是刚刚炒股的你还不了解K线,建议用一些辅助工具来帮你判断一只股票是否值得买。
比如说下面的诊股链接,输入你中意的股票代码,就能自动帮你估值、分析大盘形势等等,我刚开始炒股的时候就用这种方法来过渡,非常方便:【免费】测一测你的股票当前估值位置?
下面我就跟大家说说关于几个K线分析的小窍门儿,帮助你加快入门的脚步。
二、怎么用股票K线进行技术分析?
1、实体线为阴线
这时候要看股票成交量怎么样,万一成交量不大,这就表示着股价可能会短期下降;而成交量很大的话,那股价很有可能要长期下跌了。
2、实体线为阳线
实体线为阳线就表示股价上涨空间更大,至于是不是长期上涨必须结合其他指标进行判断。
比如说大盘形式、行业前景、估值等等因素/指标,但是由于篇幅问题,不能展开细讲,大家可以点击下方链接了解:新手小白必备的股市基础知识大全

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C. 傅里叶变换法的优点

有些方程分离变量是很难的,傅里叶变换更容易

D. 什么是傅立叶变换为什么要进行傅立叶变换一些回忆

傅立叶变换表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。

傅里叶变换可以将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号的频谱),可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

正是由于拥有良好的性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

(4)傅立叶分析股票波动扩展阅读:

在数学领域,尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。

"任意"的函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类:

1、傅里叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子。

2、傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似。

3、正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方。

E. 傅里叶变换如何应用于实际的物理信号

首先,我们从物理系统的特征信号角度来解释。我们知道:大自然中很多现象可以抽象成一个线性时不变系统来研究,无论你用微分方程还是传递函数或者状态空间描述。线性时不变系统可以这样理解:输入输出信号满足线性关系,而且系统参数不随时间变换。对于大自然界的很多系统,一个正弦曲线信号输入后,输出的仍是正弦曲线,只有幅度和相位可能发生变化,但是频率和波的形状仍是一样的。也就是说正弦信号是系统的特征向量!当然,指数信号也是系统的特征向量,表示能量的衰减或积聚。自然界的衰减或者扩散现象大多是指数形式的,或者既有波动又有指数衰减(复指数形式),因此具有特征的基函数就由三角函数变成复指数函数。但是,如果输入是方波、三角波或者其他什么波形,那输出就不一定是什么样子了。所以,除了指数信号和正弦信号以外的其他波形都不是特征信号。

F. 傅里叶变换是用来做什么的,具体举例一下应用

计算机上的声音和图像信号、工程上的任何波动信息、数学上的解微分方程、天文学上对遥远星体的观测,到处都要用到傅里叶变换。你用手机播放MP3音乐、看图片、语音识别,这些都是傅里叶变换的日常应用。

本质上讲,傅里叶变换,是把一个复杂事物,拆解成一堆标准化的简单事物的方法。拿声音举例,我们知道声音是物体振动发出的,它是一种波,通过空气或其他介质进行传播。

如果用声波记录仪记录并显示这些波的振动形式,会发现生活中的绝大部分的声音是都是非常复杂甚至杂乱无章的。

(6)傅立叶分析股票波动扩展阅读

根据原信号的不同类型,我们可以把傅里叶变换分为四种类别:

1、非周期性连续信号傅里叶变换(Fourier Transform)

2、周期性连续信号傅里叶级数(Fourier Series)

3、非周期性离散信号离散时域傅里叶变换(Discrete Time Fourier Transform)

4、周期性离散信号离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)

G. 有没有人可以解释一下相量域(Phasor domain)和傅里叶级数(Fourier series)

一、什么是频域
从我们出生,我们看到的世界都以时间贯穿,股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为,世间万物都在随着时间不停的改变,并且永远不会静止下来。但如果我告诉你,用另一种方法来观察世界的话,你会发现世界是永恒不变的,你会不会觉得我疯了?我没有疯,这个静止的世界就叫做频域。
二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱
还是举个栗子并且有图有真相才好理解。
如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来,你会相信吗?你不会,就像当年的我一样。但是看看下图:

第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos(x)
第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)
第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加
第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加
随着正弦波数量逐渐的增长,他们最终会叠加成一个标准的矩形,大家从中体会到了什么道理?(只要努力,弯的都能掰直!)
随着叠加的递增,所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡,而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢?不幸的告诉大家,答案是无穷多个。(上帝:我能让你们猜着我?)
不仅仅是矩形,你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点,但是一旦接受了这样的设定,游戏就开始有意思起来了。
还是上图的正弦波累加成矩形波,我们换一个角度来看看:

在这几幅图中,最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和,也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来,而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了,每两个正弦波之间都还有一条直线,那并不是分割线,而是振幅为 0 的正弦波!也就是说,为了组成特殊的曲线,有些正弦波成分是不需要的。
这里,不同频率的正弦波我们成为频率分量。
好了,关键的地方来了!!
如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”,我们就有了构建频域的最基本单元。对于我们最常见的有理数轴,数字“1”就是有理数轴的基本单元。
(好吧,数学称法为——基。在那个年代,这个字还没有其他奇怪的解释,后面还有正交基这样的词汇我会说吗?)
时域的基本单元就是“1”秒,如果我们将一个角频率为ω0的正弦波cos(ω0t)看做基础,那么频域的基本单元就是ω0。
有了“1”,还要有“0”才能构成世界,那么频域的“0”是什么呢?cos(0t)就是一个周期无限长的正弦波,也就是一条直线!所以在频域,0 频率也被称为直流分量,在傅里叶级数的叠加中,它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。
接下来,让我们回到初中,回忆一下已经死去的八戒,啊不,已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。

正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆。
Fourier series square wave circles animation.gif

[Fourier series sawtooth wave circles animation.gif]

介绍完了频域的基本组成单元,我们就可以看一看一个矩形波,在频域里的另一个模样了:

这是什么奇怪的东西?
这就是矩形波在频域的样子,是不是完全认不出来了?教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想,以及无穷的吐槽,其实教科书只要补一张图就足够了:频域图像,也就是俗称的频谱,就是—
再清楚一点:

可以发现,在频谱中,偶数项的振幅都是0,也就对应了图中的彩色直线。振幅为0的正弦波。
Fourier_series_and_transform.gif

老实说,在我学傅里叶变换时,维基的这个图还没有出现,那时我就想到了这种表达方法,而且,后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。
但是在讲相位谱之前,我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗?估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下,世界上每一个看似混乱的表象,实际都是一条时间轴上不规则的曲线,但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影,而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢?
我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布,幕布的后面有无数的齿轮,大齿轮带动小齿轮,小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演,却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转,永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话,这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的,当时想想似懂非懂,直到有一天我学到了傅里叶级数……
三、傅里叶级数(Fourier Series)的相位谱
上一章的关键词是:从侧面看。这一章的关键词是:从下面看。
在这一章最开始,我想先回答很多人的一个问题:傅里叶分析究竟是干什么用的?这段相对比较枯燥,已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。
先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视,我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道,就是频率的通道,不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事:
先在纸上画一个sin(x),不一定标准,意思差不多就行。不是很难吧。好,接下去画一个sin(3x)+sin(5x)的图形。别说标准不标准了,曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧?
好,画不出来不要紧,我把sin(3x)+sin(5x)的曲线给你,但是前提是你不知道这个曲线的方程式,现在需要你把sin(5x)给我从图里拿出去,看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。但是在频域呢?则简单的很,无非就是几条竖线而已。
所以很多在时域看似不可能做到的数学操作,在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分,这在工程上称为滤波,是信号处理最重要的概念之一,只有在频域才能轻松的做到。
再说一个更重要,但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。(这段有点难度,看不懂的可以直接跳过这段)微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除,还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法,大学数学瞬间变小学算术有没有。
傅里叶分析当然还有其他更重要的用途,我们随着讲随着提。
下面我们继续说相位谱:
通过时域到频域的变换,我们得到了一个从侧面看的频谱,但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少,而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中,振幅,频率,相位缺一不可,不同相位决定了波的位置,所以对于频域分析,仅仅有频谱(振幅谱)是不够的,我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢?我们看下图,这次为了避免图片太混论,我们用7个波叠加的图。
于正弦波是周期的,我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰,而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢?为了看的更清楚,我们将红色的点投影到下平面,投影点我们用粉色点来表示。当然,这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离,并不是相位。

这里需要纠正一个概念:时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话,相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘2Pi,就得到了相位差。
在完整的立体图中,我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期,就得到了最下面的相位谱。所以,频谱是从侧面看,相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话,可以告诉她:“对不起,我只是想看看你的相位谱。”
注意到,相位谱中的相位除了0,就是Pi。因为cos(t+Pi)=-cos(t),所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数,这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是,由于cos(t+2Pi)=cos(t),所以相位差是周期的,pi和3pi,5pi,7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi,pi],所以图中的相位差均为Pi。
最后来一张大集合:
四、傅里叶变换(Fourier Tranformation)
傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。
所以说,钢琴谱其实并非一个连续的频谱,而是很多在时间上离散的频率,但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。
因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢?
你见过大海么?
为了方便大家对比,我们这次从另一个角度来看频谱,还是傅里叶级数中用到最多的那幅图,我们从频率较高的方向
以上是离散谱,么连续谱是什么样子呢?
尽情的发挥你的想象,想象这些离散的正弦波离得越来越近,逐渐变得连续……
直到变得像波涛起伏的大海:
很抱歉,为了能让这些波浪更清晰的看到,我没有选用正确的计算参数,而是选择了一些让图片更美观的参数,不然这图看起来就像屎一样了。
不过通过这样两幅图去比较,大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧?原来离散谱的叠加,变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。
不过,这个故事还没有讲完,接下去,我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片,但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续,这个工具就是——
五、宇宙耍帅第一公式:欧拉公式
虚数i这个概念大家在高中就接触过,但那时我们只知道它是-1 的平方根,可是它真正的意义是什么呢?
这里有一条数轴,在数轴上有一个红色的线段,它的长度是1。当它乘以 3 的时候,它的长度发生了变化,变成了蓝色的线段,而当它乘以-1 的时候,就变成了绿色的线段,或者说线段在数轴上围绕原点旋转了 180 度。
我们知道乘-1 其实就是乘了两次 i 使线段旋转了 180 度,那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了 90 度。
同时,我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面,也称复平面。这样我们就了解到,乘虚数i的一个功能——旋转。
现在,就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——
这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析,但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于 Pi 的时候。
经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底,用这个公式来给妹子解释数学之美:”石榴姐你看,这个公式里既有自然底数e,自然数 1 和0,虚数i还有圆周率 pi,它是这么简洁,这么美丽啊!“但是姑娘们心里往往只有一句话:”臭屌丝……“
这个公式关键的作用,是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义:
欧拉公式所描绘的,是一个随着时间变化,在复平面上做圆周运动的点,随着时间的改变,在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分,也就是螺旋线在左侧的投影,就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。
关于复数更深的理解,大家可以参考:
复数的物理意义是什么?
这里不需要讲的太复杂,足够让大家理解后面的内容就可以了。
六、指数形式的傅里叶变换
有了欧拉公式的帮助,我们便知道:正弦波的叠加,也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢?
光波
高中时我们就学过,自然光是由不同颜色的光叠加而成的,而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验:
所以其实我们在很早就接触到了光的频谱,只是并没有了解频谱更重要的意义。
但不同的是,傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加,而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。
这里,我们可以用两种方法来理解正弦波:
第一种前面已经讲过了,就是螺旋线在实轴的投影。
另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解:
将以上两式相加再除2,得到:
这个式子可以怎么理解呢?
我们刚才讲过,e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线,那么 e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半,因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了!
举个例子的话,就是极化方向不同的两束光波,磁场抵消,电场加倍。
这里,逆时针旋转的我们称为正频率,而顺时针旋转的我们称为负频率(注意不是复频率)。
好了,刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱,现在想一想,连续的螺旋线会是什么样子:
想象一下再往下翻:
是不是很漂亮?

你猜猜,这个图形在时域是什么样子?
哈哈,是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。
顺便说一句,那个像大海螺一样的图,为了方便观看,我仅仅展示了其中正频率的部分,负频率的部分没有显示出来。
如果你认真去看,海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的,每一条螺旋线都有着不同的振幅(旋转半径),频率(旋转周期)以及相位。而将所有螺旋线连成平面,就是这幅海螺图了。
好了,讲到这里,相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了,我们最后用一张图来总结一下:

好了,傅里叶的故事终于讲完了,下面来讲讲我的故事:
这篇文章第一次被卸下来的地方你们绝对猜不到在哪,是在一张高数考试的卷子上。当时为了刷分,我重修了高数(上),但是后来时间紧压根没复习,所以我就抱着裸考的心态去了考场。但是到了考场我突然意识到,无论如何我都不会比上次考的更好了,所以干脆写一些自己对于数学的想法吧。于是用了一个小时左右的时间在试卷上洋洋洒洒写了本文的第一草稿。
你们猜我的了多少分?
6 分
没错,就是这个数字。而这 6 分的成绩是因为最后我实在无聊,把选择题全部填上了C,应该是中了两道,得到了这宝贵的 6 分。说真的,我很希望那张卷子还在,但是应该不太可能了。
那么你们猜猜我第一次信号与系统考了多少分呢?
45 分
没错,刚刚够参加补考的。但是我心一横没去考,决定重修。因为那个学期在忙其他事情,学习真的就抛在脑后了。但是我知道这是一门很重要的课,无论如何我要吃透它。说真的,信号与系统这门课几乎是大部分工科课程的基础,尤其是通信专业。
在重修的过程中,我仔细分析了每一个公式,试图给这个公式以一个直观的理解。虽然我知道对于研究数学的人来说,这样的学习方法完全没有前途可言,因为随着概念愈加抽象,维度越来越高,这种图像或者模型理解法将完全丧失作用。但是对于一个工科生来说,足够了。
后来来了德国,这边学校要求我重修信号与系统时,我彻底无语了。但是没办法,德国人有时对中国人就是有种藐视,觉得你的教育不靠谱。所以没办法,再来一遍吧。
这次,我考了满分,而及格率只有一半。
老实说,数学工具对于工科生和对于理科生来说,意义是完全不同的。工科生只要理解了,会用,会查,就足够了。但是很多高校却将这些重要的数学课程教给数学系的老师去教。这样就出现一个问题,数学老师讲得天花乱坠,又是推理又是证明,但是学生心里就只有一句话:学这货到底干嘛用的?
缺少了目标的教育是彻底的失败。
在开始学习一门数学工具的时候,学生完全不知道这个工具的作用,现实涵义。而教材上有只有晦涩难懂,定语就二十几个字的概念以及看了就眼晕的公式。能学出兴趣来就怪了!
好在我很幸运,遇到了大连海事大学的吴楠老师。他的课全程来看是两条线索,一条从上而下,一条从下而上。先将本门课程的意义,然后指出这门课程中会遇到哪样的问题,让学生知道自己学习的某种知识在现实中扮演的角色。然后再从基础讲起,梳理知识树,直到延伸到另一条线索中提出的问题,完美的衔接在一起!
这样的教学模式,我想才是大学里应该出现的。
最后,写给所有给我点赞并留言的同学。真的谢谢大家的支持,也很抱歉不能一一回复。因为知乎专栏的留言要逐次加载,为了看到最后一条要点很多次加载。当然我都坚持看完了,只是没办法一一回复。
本文只是介绍了一种对傅里叶分析新颖的理解方法,对于求学,还是要踏踏实实弄清楚公式和概念,学习,真的没有捷径。但至少通过本文,我希望可以让这条漫长的路变得有意思一些。
最后,祝大家都能在学习中找到乐趣…

H. 求用傅里叶变换分析股票价格周期的matlab程序

这个有周期?

I. 如果电网频率在波动,对用傅里叶进行分析时会有什么影响

【1】损坏设备。对火力发电厂,由于使汽轮机叶片接近共振状态,会造成叶片损坏事故;对用电单位,则可能使电动机转速降低,而引起设备损坏。
【2】电网频率:电力系统频率是指电力系统统一的一种运行参数,国家标准GB/T15945—1995《电力系统频率允许偏差》规定以50Hz正弦波作为我国电力系统的标准频率(工频),并规定电力系统正常的频率标准为50Hz±0.2Hz。

J. 傅里叶变换的相关

傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字,英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣,于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文,运用正弦曲线来描述温度分布,论文里有个在当时具有争议性的决断:任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人,其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827),当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时,拉格朗日坚决反对,在他此后生命的六年中,拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号,如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望,拒绝了傅里叶的工作,幸运的是,傅里叶还有其它事情可忙,他参加了政治运动,随拿破仑远征埃及,法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。
拉格朗日是对的:正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是,我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它,逼近到两种表示方法不存在能量差别,基于此,傅里叶是对的。
用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波来表示的原因在于,分解信号的方法是无穷的,但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单,因为正余弦拥有原信号所不具有的性质:正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后,输出的仍是正弦曲线,只有幅度和相位可能发生变化,但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质,正因如此我们才不用方波或三角波来表示。
为什么偏偏选择三角函数而不用其他函数进行分解?我们从物理系统的特征信号角度来解释。我们知道:大自然中很多现象可以抽象成一个线性时不变系统来研究,无论你用微分方程还是传递函数或者状态空间描述。线性时不变系统可以这样理解:输入输出信号满足线性关系,而且系统参数不随时间变换。对于大自然界的很多系统,一个正弦曲线信号输入后,输出的仍是正弦曲线,只有幅度和相位可能发生变化,但是频率和波的形状仍是一样的。也就是说正弦信号是系统的特征向量!当然,指数信号也是系统的特征向量,表示能量的衰减或积聚。自然界的衰减或者扩散现象大多是指数形式的,或者既有波动又有指数衰减(复指数 形式),因此具有特征的基函数就由三角函数变成复指数函数。但是,如果输入是方波、三角波或者其他什么波形,那输出就不一定是什么样子了。所以,除了指数信号和正弦信号以外的其他波形都不是线性系统的特征信号。

用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波或者其他什么函数来表示的原因在于:正弦信号恰好是很多线性时不变系统的特征向量。于是就有了傅里叶变换。对于更一般的线性时不变系统,复指数信号(表示耗散或衰减)是系统的“特征向量”。于是就有了拉普拉斯变换。z变换也是同样的道理,这时是离散系统的“特征向量”。这里没有区分特征函数和特征向量的概念,主要想表达二者的思想是相同的,只不过一个是有限维向量,一个是无限维函数。
傅里叶级数和傅里叶变换其实就是我们之前讨论的特征值与特征向量的问题。分解信号的方法是无穷的,但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。这样,用正余弦来表示原信号会更加简单,因为正余弦拥有原信号所不具有的性质:正弦曲线保真度。且只有正弦曲线才拥有这样的性质。
这也解释了为什么我们一碰到信号就想方设法的把它表示成正弦量或者复指数量的形式;为什么方波或者三角波如此“简单”,我们非要展开的如此“麻烦”;为什么对于一个没有什么规律的“非周期”信号,我们都绞尽脑汁的用正弦量展开。就因为正弦量(或复指数)是特征向量。 什么是时域?从我们出生,我们看到的世界都以时间贯穿,股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为,世间万物都在随着时间不停的改变,并且永远不会静止下来。
什么是频域?频域(frequency domain)是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系。用线性代数的语言就是装着正弦函数的空间。频域最重要的性质是:它不是真实的,而是一个数学构造。频域是一个遵循特定规则的数学范畴。正弦波是频域中唯一存在的波形,这是频域中最重要的规则,即正弦波是对频域的描述,因为时域中的任何波形都可用正弦波合成。
对于一个信号来说,信号强度随时间的变化规律就是时域特性,信号是由哪些单一频率的信号合成的就是频域特性。
时域分析与频域分析是对信号的两个观察面。时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系;频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。一般来说,时域的表示较为形象与直观,频域分析则更为简练,剖析问题更为深刻和方便。目前,信号分析的趋势是从时域向频域发展。然而,它们是互相联系,缺一不可,相辅相成的。贯穿时域与频域的方法之一,就是传说中的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数(Fourier Serie)和傅里叶变换(Fourier Transformation)。 根据原信号的不同类型,我们可以把傅里叶变换分为四种类别:
1非周期性连续信号傅里叶变换(Fourier Transform)
2周期性连续信号傅里叶级数(Fourier Series)
3非周期性离散信号离散时域傅里叶变换(Discrete Time Fourier Transform)
4周期性离散信号离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)
下图是四种原信号图例:

这四种傅里叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号,即信号的的长度是无穷大的,我们知道这对于计算机处理来说是不可能的,那么有没有针对长度有限的傅里叶变换呢?没有。因为正余弦波被定义成从负无穷大到正无穷大,我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。面对这种困难,方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号,可以把信号无限地从左右进行延伸,延伸的部分用零来表示,这样,这个信号就可以被看成是非周期性离解信号,我们就可以用到离散时域傅里叶变换的方法。还有,也可以把信号用复制的方法进行延伸,这样信号就变成了周期性离散信号,这时我们就可以用离散傅里叶变换方法进行变换。这里我们要学的是离散信号,对于连续信号我们不作讨论,因为计算机只能处理离散的数值信号,我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。
但是对于非周期性的信号,我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示,这对于计算机来说是不可能实现的。所以对于离散信号的变换只有离散傅里叶变换(DFT)才能被适用,对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理,对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到,在计算机面前我们只能用DFT方法,后面我们要理解的也正是DFT方法。这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题,至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。
每种傅里叶变换都分成实数和复数两种方法,对于实数方法是最好理解的,但是复数方法就相对复杂许多了,需要懂得有关复数的理论知识,不过,如果理解了实数离散傅里叶变换(real DFT),再去理解复数傅里叶就更容易了,所以我们先把复数的傅里叶放到一边去,先来理解实数傅里叶变换,在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论,然后在理解了实数傅里叶变换的基础上再来理解复数傅里叶变换。
如 上图所示,实信号四种变换在时域和频域的表现形式。
还有,这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换,但跟函数变换是不同的,函数变换是符合一一映射准则的,对于离散数字信号处理(DSP),有许多的变换:傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等,这些都扩展了函数变换的定义,允许输入和输出有多种的值,简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。 傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅里叶变换算法的意义,首先要了解傅里叶原理的意义。傅里叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
和傅里叶变换算法对应的是反傅里叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理,这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此,可以说,傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号的频谱),可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。
从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
在数学领域,尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类:1. 傅里叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅里叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT))。
正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
图像傅里叶变换
图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域,对应的频率值较高。傅里叶变换在实际中有非常明显的物理意义,设f是一个能量有限的模拟信号,则其傅里叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看,傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅里叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数,傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。
傅里叶变换以前,图像(未压缩的位图)是由对在连续空间(现实空间)上的采样得到一系列点的集合,我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点,则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的,图像是二维的,因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示,这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度?因为实际上对图像进行二维傅里叶变换得到频谱图,就是图像梯度的分布图,当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系,即使在不移频的情况下也是没有。傅里叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小(可以这么理解,图像中的低频部分指低梯度的点,高频部分相反)。一般来讲,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。这样通过观察傅里叶变换后的频谱图,也叫功率图,我们首先就可以看出,图像的能量分布,如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小),反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的,边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后,可以看出图像的频率分布是以原点为圆心,对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外,还有一个好处,它可以分离出有周期性规律的干扰信号,比如正弦干扰,一副带有正弦干扰,移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心,对称分布的亮点集合,这个集合就是干扰噪音产生的,这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。
另外说明以下几点:
1、图像经过二维傅里叶变换后,其变换系数矩阵表明:
若变换矩阵Fn原点设在中心,其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅里叶变换矩阵Fn的原点设在左上角,那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅里叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。
2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频,最亮,平移之后中间部分是低频,最亮,亮度大说明低频的能量大(幅角比较大)。 将其发展延伸,构造出了其他形式的积分变换:
从数学的角度理解积分变换就是通过积分运算,把一个函数变成另一个函数。也可以理解成是算内积,然后就变成一个函数向另一个函数的投影:

K(s,t)积分变换的核(Kernel)。当选取不同的积分域和变换核时,就得到不同名称的积分变换。学术一点的说法是:向核空间投影,将原问题转化到核空间。所谓核空间,就是这个空间里面装的是核函数。下表列出常见的变换及其核函数:
当然,选取什么样的核主要看你面对的问题有什么特征。不同问题的特征不同,就会对应特定的核函数。把核函数作为基函数。将现在的坐标投影到核空间里面去,问题就会得到简化。之所以叫核,是因为这是最核心的地方。为什么其他变换你都没怎么听说过而只熟悉傅里叶变换和拉普拉斯变换呢?因为复指数信号才是描述这个世界的特征函数!

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